Ангилал: hicheel

eУламжлал

Францын математикч Пьер Ферма 17-р зуунд "функцийг шvргэгч зураас" - ны хазайлтыг олох аргыг гаргасан билээ. Энэ арга нь Ньютонд "дефференциал тооллыг" нээхэд тусалсан гэдгийг Исак Ньютон өөрөө хэлсэн.

Дээрх зураг дээр g функцын график нь f функцийн графикийг "шvргэж" байгааг харж болно (нэг л цэг дээр шvргэнэ шvv!) Ямар нэгэн шугаман функц y = mx + b байхад хазайлт = m байдаг билээ. Тэгэхдээ бид одоохондоо g функцийг мэдэхгvй байгаа. Хэрвээ зөвхөн f мэдэгдэж байвал g - гийн m (хазайлт) - ийг яаж олох вэ?

Эхлээд g - г мэдэгдэж байхад яаж m - ийг олох тухай ярилцая. Энэ бодлогыг ингэж ойлгож болох юм:

Бид дундаж хурдыг олохын тулд туулсан зайг хугацаагаар хуваадаг билээ. Өөрөөр хэлбэл,

Хазайлт гэдэг нэрний учир нь m нь бас тухайн функцийн графикийг хэр зэрэг хазайж байгааг хэлдэг. Тэгэхлээр, хэрвээ a, b хоёр хоёулаа g - гийн тодорхойлогдох мужид байдаг бол

байна. Одоо буцаад шvргэгч зураасны хазайлтыг олох бодлоготоо оръё. Бид заавал тэр зураасны гэхгvй, тэрэнтэй ойролтоо зураасны хазайлтыг олж болно.

m₁ хазайлттай g₁ функцийг f(b) - ээс f(a) хvртэл татсан шулуун функц гэж тодорхойлвол бид m₁ - ийг олж чадна.

а нь b - ойртоод байвал (h багасаад байвал) g₁ функц g функцтэй адилхан болоод байна. Тээр! Тэгэхлээр h-->0 гэвэл m₁ = m болж байна. Одоо бид уламжлалыг тодорхойлоход бэлэн боллоо.

Хэрвээ а нь f - ийн тодорхойлогдох мужид багтаад,

хязгаар оршиж байвал энэ хязгаарыг f функцийн a цэг дээрх уламжлал гэж нэрлээд f '(а) гэж тэмдэглэдэг. Уламжлал олох vйлдэлийг дифференциалчлах vйлдэл гэнэ.

Хэрвээ f нь бvх тодорхойлогдох муж дээрээ уламжлалтай бол бид бvх уламжалуулдых нь цуглуулгыг нэг функц болгоод

гэж бичдэг.

Уламжлалыг заримдаа физикт "хөдөлгөөний агшин зуурын хурд " гэж ойлгодог. Бид бага ангид "Maшин 500 км газрыг 10 цагт туулсан бол ямар хурдтай явсан бэ?" г.м - ийн бодлогуудыг боддог байсан. Мэдээж бага ангийн хvvхдvvд энэ асуултанд 50 км/цаг гэж хариулна. Гэхдээ машин нь яг, тасралтгvйгээр 50 км/цаг хурдтай явж байсан гэдэг бол мэдээж худлаа. Нэг минутын өмнө 45 км/цаг, хоёр минутын дараа 52 км цагийн хурдтай явж байсан байж болно. Хэрвээ х - нь туулж өнгөрсөн цаг, у нь туулж өнгөрсөн газар бол бид машиний хөдөлгөөнийг ямар нэгэн функцээр илэрхийлж болно. (Одоохондоо энэ функцийг яаж олох нь гол нь биш. Тийм функц байдаг гэдэг нь чухал байна.) Энэ функцийн маань уламжлал бидэнд тухайн өгсөн цагт машин ямар хурдтай явж байсныг хэлж өгнө.

Теорем 2

Хэрвээ f(x) функц а дээр уламжлалтай бол, f нь а дээр тасралтгvй.

Баталгаа

Тасралтгvй функцийн тодорхойлолт ёсоор теорем маань батлагдав.

Нэг маш чухал юмийг анхааруулая: Теорем 2 нь урвуугаараа худлаа шvv! Ямар нэгэн функц "а" дээр тасралгvй байсан ч "а" дээр уламжлалтай байх албагvй. Энийг мартаж болохгvй! (Энэ хичээлийн дасгалууд дээр иймэрхvv функцvvдийн жишээ ол гэсэн бодлого байгаа.) Одоо хэдэн жишээ авч vзье.

y = c хэлбэрийн функцvvдийн уламжлал

y = cx хэлбэрийн функцvvдийн уламжлал

y = x² функцийн уламжлал

Функцийн уламжлал чинь бас л нэг функц. Тэгэхлээр функцийн уламжлалынх нь уламжлалыг авч болохоор харагдаж байна. ф(х) гэсэн функц байсан бол 2-р эрэмбийн уламжлалыг нь ф''(x) гэж тэмдэглэдэг. 3-р уламжлалыг ф'''(x), 4-р эрэмбийн уламжлалыг ф⁽⁴⁾(х), к-р эрэмбийн уламжлалыг ф^(к)(х) г.м... Тэмдэглэгээний тухай эндээс дэлгэрэнгvй vзээрэй.

Функцийн график нь уламжлалынхаа графиктай ямар нэгэн холбоо байна уу?

Энэ графикаас харвал f функц (-, 0) дээр буурж байхад сөрөг утгатай байна. f функц (0, ) дээр өсөж байхад эерэг утгатай байна. Бид иймэрхvv юмийг таамаглаж болох байсан. Яагаад гэхлээр уламжал маань функцvvдийн өсөлтийг хэлж өгдөг билээ. (Уламжлалыг тодорхойлдог хязгаарыг сайн ажиглавал энэ нь ойлгомжтой болно) Дараагийн зурагнаас энэ санаа бvvр тодорхой болох байх...

Энэ функцийг бид дараа дэлгэрэнгvй vзэх болно, гэхдээ одоохондоо функц ба функцийн уламжлал хоёр хоорондоо ямар холбоотой байдгийг ойлгохыг хичээгээрэй.