Ангилал: hicheel

Функцийн хязгаар

Ньютон, Лебниц - ийн математикт (анализ) асар их чухал vvрэг гvйцэтгэдэг функцийн хязгаарын ухагтхуун нь нэлээд хэцvv сэдэвт орно. Иймээс бид хязгаарын жинхэнэ тодорхойлолтыг ойлгомжтой болгохын тулд одоохондоо тvр зуурын тодорхойлолт ашиглана. Тvр зуурынхаа тодорхойлолтоороо хязгаар гэж юу болох, юунд хэрэгтэй юм гэдгийг ойлгож авах байх гэж найдаад яриагаа эхлэе.

Тvр зуурын (яг нарийн биш) тодорхойлолт: Ямар нэгэн функц f нь "а" - гийн дэргэд хязгаар "L" - д ойртоно гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм.

Одоо хэдэн жишээ авч vзье:

Зураг 1

f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна.

Зураг 2

Зураг 3

2-р зураг дээр f(a) = L нь худал болов ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Хэдийгээр 3-р зураг дээр f(a) (энэ функц биш, харин жирийн тоо болохыг анхаарна уу) нь тодорхойлогдоогvй ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Бидэнд f(а) хэд байх, ямар байх нь ерөөсөө хамаа байхгvй; "а" - д ойрхон х - vvдийн хувьд л f(x) нь L - д ойртож байвал боллоо. Давтая: f(a) чухал биш.

Хараажаар 4 - зураг дээр а - гийн дэргэд ямар ч хязгаар алга байна. Харин 5-р зураг дээр f - ийн а - гийн дэрэгдэх хязгаар нь L биш харин M байна. Эдгээр жишээнvvдийг сайн ойлгохгvй байгаа бол тvр зуурын тодорхойлолтоо олон дахин уншаарай.

Одоо зураг биш, жинхэнэ функц авч vзье.

гэе. Одоохондоо sin(x) функцийг vзэж эхлээгvй байгаа бол санаа битгий зов.

Дээрх зураг дээрээс ажиглавал х тэгд ойртох тусам f(x) нь тэгд ойртож байна. Өөрөөр хэлбэл x-->0 байвал f(x)-->0 байна.

Одоо ямар нэгэн тоо > 0 байлаа гэж бодъё. Энэ бол зvгээр л эерэг, бодит тоо (Грекийн "эпсилон" vсэгээр тэмдэглэгдсэн).

байдгийг санавал,

тэнцэтгэл бишийг хангахын тулд x < байхад хангалттай гэдэг нь харагдаж байна. нь ямар ч тоо байж болох байсан болохлээр тvрvvний бидний хийсэн ажиглалт vнэн гэдэг нь ойлгомжтой болж байна. Өөрөөр хэлбэл тоо багасах тусам (нойл - д ойртох тусам) f(x) бас багасаж байна. Тэгэхлээр f функцийн хязгаар нь 0 - ийн дэргэд 0 байна.

Бид хязгааруудыг

гэж тэмдэглэдэг. х - ийн оронд ямарч vсэг орлуулж болно. х нь энд f функцийн хувьсах хэмжэгдхvvнийг тодорхойлохоос өөр vvрэггvй байна.

Одоо жинхэнэ тодорхойлолтоо дурдая. Бидний анхны тодорхойлолт ингэж байсан:

гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм.

Нэгдvгээрт, "х-г а-д ойртуулна", "f(x) хязгаар L-д ойртоно" гэдэг маань "|x - a| - г багасгана", "|f(x) - L| багасана" гэсэнтэй адилхан билээ. Тэгэхлээр:

гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), |f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана." гэсэн vг юм.

Хоёрдугаарт, "|f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана" гэдэг нь "Дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэнтэй адилхан билээ. Өөрөөр хэлбэл, хичнээн бага байсан ч бид |f(x) - L| - г - ээс бага байлгаж чадна. Тиймээс:

гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэн vг юм.

Өгөгдсөн тоо болгонд тохируулж бид |x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгана гэдэг маань |x - a| < тэнцэтгэл бишийг хангах тоо (Грекийн "делта" vсгээр тэмдэглэв) олдоно гэсэн vг юм. Өгөгдсөн > 0 болгонд ямар нэгэн > 0 олдохыг, бас байгааг анхаарвал, бидний ЖИНХЭНЭ Функцийн Хязгаарын тодорхойлолт ингэж хэлэгдэнэ:

Дурын > 0 тоо сонгон авах бvрд 0 < |x - a| < тэнцэтгэл бишийг хангах бvх х - гийн хувьд |f(x) - L| < тэнцэтгэл биш биелж байхаар > 0 тоо олдож байвал L тоог f(x) функцийн а - гийн дэргэдэх хязгаар гэнэ.

Дээрхийг

гэж тэмдэглэдэг гэдгийг бид олон удаа дурьдсан билээ. Бас нэг юм давтаж хэлье: функцын хязгаарын ухагтхуун маш чухал бөгөөд одооноос эхэлж бидний хийх юм болгон vvнээс хамаарна. Чи дээрх тодорхойлолтыг бvр заавал мэдэх ёстой. Ойлгож ав. Ойлгосон ч, ойлгоогvй ч, vг бvрчлэн цээжилж ав. Энэ тодорхойлолтыг мэдэхгvй бол (эсгvй бол буруу хэлдэг бол) чи теорем батлахдаа алдаа гаргана. Дахиад давтая: Энийг сур, сур, бас дахин сур!